滋賀医科大学
2016年 医学部 第2問

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  4. 2016年 - 医学部 - 第2問
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分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば-1/3，2はそれぞれ-1/3,2/1と表せるから，ともに控えめな有理数である．1個以上の有限個の控えめな有理数a_1,・・・,a_nに対して，集合S\langlea_1,・・・,a_n\rangleを，S\langlea_1,・・・,a_n\rangle={x_1a_1+・・・+x_na_n\;|\;x_1,・・・,x_n　は控えめな有理数　}と定める．例えば1は1・(-1/3)+2/3・2と表せるから，S\langle-1/3,2\rangleの要素である．(1)控えめな有理数a_1,・・・,a_nが定める集合S\langlea_1,・・・,a_n\rangleの要素は控えめな有理数であることを示せ．(2)0でない控えめな有理数aが与えられたとき，S\langlea\rangle=S\langle2^t\rangleとなる0以上の整数tが存在することを示せ．(3)控えめな有理数a_1,・・・,a_nが与えられたとき，S\langlea_1,・・・,a_n\rangle=S\langleb\rangleとなる控えめな有理数bが存在することを示せ．(4)2016が属する集合S\langlea_1,・・・,a_n\rangleはいくつあるか．ただしa_1,・・・,a_nは控えめな有理数であるとし，a_1,・・・,a_nとb_1,・・・,b_mが異なっていても，S\langlea_1,・・・,a_n\rangle=S\langleb_1,・・・,b_m\rangleであれば，S\langlea_1,・・・,a_n\rangleとS\langleb_1,・・・,b_m\rangleは一つの集合として数える．
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