滋賀医科大学
2011年 医学部 第3問

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  4. 2011年 - 医学部 - 第3問
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文字x,y,zの任意の整式Aに対して，x,y,zをそれぞれsinθ,cosθ,tanθに置き換えて得られるθの関数を\widetilde{A}(θ)で表す．例えば，\begin{array}{lll}P=x^5+z^4-xyz&　ならば　&\widetilde{P}(θ)=sin^5θ+tan^4θ-sinθcosθtanθ,\\P=x^2+y^2,Q=1&　ならば　&\widetilde{P}(θ)=sin^2θ+cos^2θ=1=\widetilde{Q}(θ)\end{array}である．ただしθの関数の定義域は0≦θ≦2π,θ≠π/2,\frac{3π}{2}とする．(1)Pをx,y,zの整式とする．\widetilde{P}(θ)=\widetilde{Q}(θ)となるy,zの整式Qが存在することを示せ．(2)Pをx,y,zの整式とする．\widetilde{P}(0)=\widetilde{P}(π)ならば，\widetilde{P}(θ)=\widetilde{Q}(θ)となるx,zの整式Qが存在することを示せ．(3)Pをx,y,zの整式とする．θ→π/2のとき，およびθ→\frac{3π}{2}のとき，\widetilde{P}(θ)がそれぞれ収束するならば，\widetilde{P}(θ)=\widetilde{Q}(θ)となるx,yの整式Qが存在することを示せ．収束とは，一定の実数に限りなく近づくことである．
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