滋賀県立大学
2013年 環境科学部・工学部 第3問

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  4. 2013年 - 環境科学部・工学部 - 第3問
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四面体の4つの頂点をA_1，A_2，A_3，A_4とし，空間のある点Pに関するそれぞれの位置ベクトルをベクトルa_1，ベクトルa_2，ベクトルa_3，ベクトルa_4とする．いま△A_2A_3A_4，△A_1A_3A_4，△A_1A_2A_4，△A_1A_2A_3を順にT_1，T_2，T_3，T_4で表しその重心をそれぞれG_1，G_2，G_3，G_4とする．(1)点HをベクトルPH=\frac{ベクトルa_1+ベクトルa_2+ベクトルa_3+ベクトルa_4}{4}を満たす点とすると，4つの直線A_iG_i(i=1,2,3,4)はHで交わることを示せ．(2)「直線A_iHはT_iを含む平面に直交する（i=1,2,3,4）」という条件が成り立つと仮定する．このときPとしてHを選べば，ベクトルa_jとベクトルa_kの内積ベクトルa_j・ベクトルa_k(j,k=1,2,3,4)の値はj≠kを満たすどのj,kに対しても同じであることを示せ．(3)(2)の条件が成り立てば，四面体A_1A_2A_3A_4は正四面体であることを示せ．
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