滋賀県立大学
2014年 環境科学部・工学部 第3問

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  4. 2014年 - 環境科学部・工学部 - 第3問
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2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})（a,b,c,dは実数とする）に対して，2次方程式x^2-(a+d)x+ad-bc=0は相異なる2つの実数解α,βをもつとする．いま，P=\frac{1}{α-β}(A-βE),Q=\frac{1}{β-α}(A-αE)とおく．ただし，Eは2次の単位行列である．(1)PQ=QP=Oが成り立つことを示せ．ただし，Oは2次の零行列である．(2)P+Q=E,P^2=PおよびQ^2=Qが成り立つことを示せ．(3)A=αP+βQが成り立つことを示せ．(4)A^n=α^nP+β^nQ(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ．
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