島根大学
2014年 総合理工（数理・情報システム） 第1問

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  4. 2014年 - 総合理工（数理・情報システム） - 第1問
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3つの箱X,Y,Zと3つの玉a,b,cがあり，1つの箱には1つの玉が入るとする．箱Xにはaが，箱Yにはbが，箱Zにはcが入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．「数字1,2,3,4,5の中から無作為に1つの数字mを選ぶ．m=1ならば，箱Y,Zにある玉をそれぞれ箱Z,Yに移す．m=2ならば，箱X,Zにある玉をそれぞれ箱Z,Xに移す．m=3ならば，箱X,Yにある玉をそれぞれ箱Y,Xに移す．m=4ならば，箱X,Y,Zにある玉をそれぞれ箱Y,Z,Xに移す．m=5ならば，箱X,Y,Zにある玉をそれぞれ箱Z,X,Yに移す．」この操作をn回繰り返したあとに3つの玉が最初の状態に戻っている確率をp_nとする．箱X,Y,Zにそれぞれ玉x,y,zが入っている状態を(x,y,z)と表す．たとえば，最初の状態は(a,b,c)である．このとき，次の問いに答えよ．(1)1回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，p_1，p_2を求めよ．(2)n回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態(a,b,c)となっていない確率をq_nとする．n≧1のとき，p_{n+1}=1/5q_nが成り立つことを示せ．(3)p_nを求めよ．
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