島根大学
2014年 医学部 第3問

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  4. 2014年 - 医学部 - 第3問
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E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})，O=(\begin{array}{cc}0&0\0&0\end{array})とおく．xを実数とし，行列X=(\begin{array}{cc}3x-1&2x-1\-3x+2&-2x+2\end{array})を定める．このとき，次の問いに答えよ．(1)自然数nに対してXのn乗をX^n=(\begin{array}{cc}P_n(x)&Q_n(x)\R_n(x)&S_n(x)\end{array})とおく．このとき，すべてのnに対して，x=1/2のとき，Q_n(x)=0であることを示せ．また，すべてのnに対して，x=2/3のとき，R_n(x)=0であることを示せ．(2)aとbは定数とする．このとき，X^2+aX+bE=Oをみたす実数xが存在するためのa,bの条件を求めよ．(3)X^3=Oをみたす実数xは存在しないことを証明せよ．
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