島根大学
2010年 総合理工（数理・情報システム以外） 第2問

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  4. 2010年 - 総合理工（数理・情報システム以外） - 第2問
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自然数nに対して，ベクトルベクトルa,ベクトルbをベクトルa=(n^{1/4},n^{1/4}+1),ベクトルb=(n^{1/4},1-n^{1/4})で定めるとき，次の問いに答えよ．(1)ベクトルaとベクトルbのなす角をθとするとき，cosθをnを用いて表せ．(2)\frac{1}{cosθ}が整数となるようなnを小さい順にn_1,n_2,・・・とするとき，i番目のn_iをiを用いて表せ．(3)n=n_iに対するベクトルaとベクトルbのなす角をθ_iとおく．自然数kに対して，S_k=\frac{1}{tan^2θ_1}+\frac{1}{tan^2θ_2}+・・・+\frac{1}{tan^2θ_k}とするとき，\lim_{k→∞}S_kを求めよ．
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