信州大学
2013年 工学部 第4問

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  4. 2013年 - 工学部 - 第4問
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θは実数とする．行列A=(\begin{array}{rr}cosθ&sinθ\-sinθ&cosθ\end{array})について，次の問いに答えよ．(1)すべての自然数kに対してA^k=(\begin{array}{rr}coskθ&sinkθ\-sinkθ&coskθ\end{array})が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．(2)nは2以上の自然数とし，θ=\frac{2π}{n}とする．B=A+A^2+・・・+A^{n-1}とおくとき，AB=B+E-Aが成り立つことを示せ．ただし，E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})とする．(3)(2)の条件のもとで，B=-Eが成り立つことを示せ．
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