静岡大学
2014年 理(物・化)・工・情報 第4問

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pを0<p<1/6を満たす実数とする.次のように数列{a_n}を帰納的に定義する.a_1=0とし,第n項a_nを用いた関数f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1が極大値と極小値をもつならば,第n+1項a_{n+1}をf_n(x)の極大値と極小値の和により定める.そうでないならば,a_{n+1}=0と定める.このとき,次の問いに答えよ.(1)f_1(x)が極大値と極小値をもつことを示し,a_2をpを用いて表せ.(2)kを自然数とする.関数f_k(x)が極大値と極小値をもつならば,関数f_{k+1}(x)も極大値と極小値をもつことを示せ.(3)a_{n+1}とa_nの関係式をpを用いて表せ.(4)一般項a_nをpを用いて表せ.
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