静岡大学
2016年 理学部(数) 第3問

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次の各問に答えよ.(1)x>1のときlogx<2√x-2を示し,これを用いて\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}を求めよ.ただし,logは自然対数を表す.(2)関数y=\frac{logx}{x}(x>0)の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.(3)定積分I_n(n=1,2,3,・・・)を以下で定義する.I_n=∫_1^e\frac{(logx)^{n-1}}{x^2}dxただし,eは自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ.I_{n+1}=-1/e+nI_n(n=1,2,3,・・・)・・・(*)(4)等式(*)を用いて,関数y=\frac{logx}{x}のグラフとx軸および直線x=eで囲まれた図形を,x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ.
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