静岡大学
2011年 理学部（数） 第2問

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  4. 2011年 - 理学部（数） - 第2問
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自然数a,bに対して，a=bq+r,0≦r≦b-1を満たす整数q,rがただ1組存在する．このときqはaをbで割った商，rはaをbで割った余りという．自然数a_0,a_1が与えられたとき，数列{a_n},{q_n}は次の性質を満たすものとする．\mon[(i)]q_nはa_{n-1}をa_nで割った商\mon[(ii)]\biggl(\begin{array}{c}a_n\\a_{n+1}\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{cc}0&1\\1&-q_n\end{array}\biggr)\biggl(\begin{array}{c}a_{n-1}\\a_{n}\end{array}\biggr)ただし，a_{N+1}=0となる自然数Nが存在すれば，n＞Nに対してq_nおよびa_{n+1}は定義しない．このとき，次の問いに答えよ．(1)a_{N+1}=0となる自然数Nが存在することを証明せよ．(2)a_N=aa_0+ba_1を満たす整数a,bが存在することを証明せよ．(3)a_Nはa_0とa_1の最大公約数であることを証明せよ．
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