首都大学東京
2016年 都市教養(理系) 第2問

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nを自然数とし,h(x)=x-nlogxとおく.ただし,logxは自然対数とする.以下の問いに答えなさい.(1)x≧2nのとき,h´(x)≧1/2が成り立つことを示しなさい.ただし,h´(x)はh(x)の導関数とする.(2)x≧2nのとき,h(x)-h(2n)≧1/2(x-2n)が成り立つことを示しなさい.(3)x≧2nかつx≧2n-2h(2n)のとき,h(x)≧0が成り立つことを示しなさい.(4)(3)を利用して\lim_{x→∞}\frac{x^{n-1}}{e^x}=0が成り立つことを示しなさい.ただし,eは自然対数の底とする.
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試験前で混乱するので解答のご要望は締め切りました。なお、現時点で解答がついていない問題は解答は来年度以降になります。すべてのご要望に答えられずご迷惑をおかけします。

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