首都大学東京
2010年 都市教養（文系） 第3問

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  4. 2010年 - 都市教養（文系） - 第3問
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実数a,b,c,dに対しxの3次の整式P(x)=ax^3+bx^2+cx+dを考える．ただし，ad≠0とする．方程式P(x)=0の3つの解をα,β,γとするとP(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)であることが知られている．このとき，以下の問いに答えなさい．(1)積αβγ，和α+β+γ，1/α+1/β+1/γを，それぞれa,b,c,dを用いて表しなさい．(2)もしαが実数でないならば，方程式P(x)=0はαの共役な複素数\overline{α}を解に持つことを証明しなさい．(3)解α,β,γのうち実数となるものの個数は0,1,2,3のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．(4)もしad＞0ならば，解α,β,γのうち正の実数となるものの個数は0,1,2,3のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
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