首都大学東京
2018年 都市教養（理系） 第3問

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  4. 2018年 - 都市教養（理系） - 第3問
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以下の問いに答えなさい．(1)正の整数p,q,fおよび整数rが次の関係をみたしているとする．p=fq+rただし，0≦r＜qとする．このとき整数dがpとqの公約数であることと，dがqとrの公約数であることは同値であることを示しなさい．(2)正の整数k,mの最大公約数を\gcd{(k,m)}で表す．p,qをp＞qをみたす正の整数とする．また，n≧2とし，2n-1個の正の整数f_1,f_2,・・・,f_{n-1}，r_1,r_2,・・・,r_nが次の関係をみたしているとする．\begin{array}{l}p=r_1\q=r_2\r_1=f_1r_2+r_3,r_3＜r_2\r_2=f_2r_3+r_4,r_4＜r_3\\qquad\vdots\r_{n-2}=f_{n-2}r_{n-1}+r_n,r_n＜r_{n-1}\r_{n-1}=f_{n-1}r_n\end{array}このとき，\gcd{(p,q)}=\gcd{(r_j,r_{j+1})}(j=1,2,・・・,n-1)が成り立つことをjに関する数学的帰納法で示しなさい．(3)pとqを互いに素な正の整数とする．このとき，ap+bq=1をみたす整数a,bが存在することを示しなさい．
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