東北大学
2013年 理系 第5問

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  4. 2013年 - 理系 - 第5問
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2次の正方行列AをA=(\begin{array}{cc}-\frac{1}{√2}&-\frac{1}{√2}\\frac{1}{√2}&-\frac{1}{√2}\\end{array})で定める．n=1,2,3,・・・に対して，点P_n(x_n,y_n)を関係式(\begin{array}{c}x_n\y_n\end{array})=A(\begin{array}{c}x_{n-1}\y_{n-1}\end{array})+(\begin{array}{c}1\0\end{array})(n=1,2,3,・・・)で定める．ただし，x_0=1,y_0=0とする．(1)A^4を求めよ．(2)n=0,1,2,・・・に対して，(\begin{array}{c}x_n\y_n\end{array})=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1}(\begin{array}{c}1\0\end{array})が成り立つことを示せ．ただし，Eは2次の単位行列とする．(3)原点OからP_nまでの距離OP_nが最大となるnを求めよ．
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