東北大学
2012年 理系 第6問

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  4. 2012年 - 理系 - 第6問
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数列{a_n}をa_1=1,a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}}(n=1,2,3,・・・)で定める．以下の問いに答えよ．(1)n≧2のとき，a_n＞1となることを示せ．(2)α^2=\frac{3α+4}{2α+3}を満たす正の実数αを求めよ．(3)すべての自然数nに対してa_n＜αとなることを示せ．(4)0＜r＜1を満たすある実数rに対して，不等式\frac{α-a_{n+1}}{α-a_n}≦r(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ．さらに，極限\lim_{n→∞}a_nを求めよ．
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