東北大学
2015年 理系 第4問

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  4. 2015年 - 理系 - 第4問
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a＞0を実数とする．n=1,2,3,・・・に対し，座標平面の3点(2nπ,0),((2n+1/2)π,\frac{1}{{{(2n+1/2)π}}^a}),((2n+1)π,0)を頂点とする三角形の面積をA_nとし，B_n=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sinx}{x^a}dx,\qquadC_n=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sin^2x}{x^a}dxとおく．(1)n=1,2,3,・・・に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．\frac{2}{{(2n+1)π}^a}≦B_n≦\frac{2}{(2nπ)^a}(2)極限値\lim_{n→∞}\frac{A_n}{B_n}を求めよ．(3)極限値\lim_{n→∞}\frac{A_n}{C_n}を求めよ．
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