東北大学
2016年 理系 第4問

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  4. 2016年 - 理系 - 第4問
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多項式P(x)をP(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i}により定める．ただし，iは虚数単位とする．以下の問いに答えよ．(1)P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7とするとき，係数a_0,・・・,a_7をすべて求めよ．(2)0＜θ＜πに対して，P(\frac{cosθ}{sinθ})=\frac{sin7θ}{sin^7θ}が成り立つことを示せ．(3)(1)で求めたa_1,a_3,a_5,a_7を用いて，多項式Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7を考える．θ=π/7として，k=1,2,3についてx_k=\frac{cos^2kθ}{sin^2kθ}とおく．このとき，Q(x_k)=0が成り立つことを示し，x_1+x_2+x_3の値を求めよ．
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