東北大学
2016年 理系 第4問

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多項式P(x)をP(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i}により定める.ただし,iは虚数単位とする.以下の問いに答えよ.(1)P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7とするとき,係数a_0,・・・,a_7をすべて求めよ.(2)0<θ<πに対して,P(\frac{cosθ}{sinθ})=\frac{sin7θ}{sin^7θ}が成り立つことを示せ.(3)(1)で求めたa_1,a_3,a_5,a_7を用いて,多項式Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7を考える.θ=π/7として,k=1,2,3についてx_k=\frac{cos^2kθ}{sin^2kθ}とおく.このとき,Q(x_k)=0が成り立つことを示し,x_1+x_2+x_3の値を求めよ.
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