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四面体ABCDにおいて,辺ABの中点をM,辺CDの中点をNとする.以下の問いに答えよ.(1)等式ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPDを満たす点Pは存在するか.証明をつけて答えよ.(2)点Qが等式|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|を満たしながら動くとき,点Qが描く図形を求めよ.(3)点Rが等式|ベクトルRA|^2+|ベクトルRB|^2=|ベクトルRC|^2+|ベクトルRD|^2を満たしながら動くとき,内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ.(4)(2)の点Qが描く図形と(3)の点Rが描く図形が一致するための必要十分条件は|ベクトルAB|=|ベクトルCD|であることを示せ.
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