徳島大学
2014年 医（医）・歯・薬 第3問

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  4. 2014年 - 医（医）・歯・薬 - 第3問
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n枚のカードに1からnまでの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が書かれている．これらn枚のカードを横一列に並べて，左端からi番目（1≦i≦n）のカードに書かれた数をa_iとする．(1)n=5のとき，a_1＜a_2＜a_3かつa_3＞a_4＞a_5を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．(2)n≧3とする．次の条件(i)，(ii)を満たすカードの並べ方の総数をnの式で表せ．ただし，(ii)では，k=2のときa_1＜a_2＜・・・＜a_kはa_1＜a_2を表し，k=n-1のときa_k＞a_{k+1}＞・・・＞a_nはa_{n-1}＞a_nを表す．(i)1＜k＜n(ii)a_1＜a_2＜・・・＜a_kかつa_k＞a_{k+1}＞・・・＞a_n(3)n≧4とする．次の条件(i)，(ii)，(iii)を満たすカードの並べ方の総数をnの式で表せ．ただし，(iii)のそれぞれの不等式は(2)と同様に，p=2のときa_1＞a_2を表し，q=p+1のときa_p＜a_{p+1}を表し，q=n-1のときa_{n-1}＞a_nを表す．(i)1＜p＜q＜n(ii)a_1=nかつa_p=1(iii)a_1＞a_2＞・・・＞a_pかつa_p＜a_{p+1}＜・・・＜a_qかつa_q＞a_{q+1}＞・・・＞a_n
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