東京大学
2010年 文系 第3問

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  4. 2010年 - 文系 - 第3問
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2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率1/2で出るコイン1枚を用意する．xを0以上30以下の整数とする．Lにx個，Rに30-x個のボールを入れ，次の操作(\sharp)を繰り返す．\mon[(\sharp)]箱Lに入っているボールの個数をzとする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，K(z)個のボールを移す．ただし，0≦z≦15のときK(z)=z，16≦z≦30のときK(z)=30-zとする．m回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率をP_m(x)とする．たとえばP_1(15)=P_2(15)=1/2となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．(1)m≧2のとき，xに対してうまくyを選び，P_m(x)をP_{m-1}(y)で表せ．(2)nを自然数とするとき，P_{2n}(10)を求めよ．
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