東京大学
2014年 理系 第4問

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  4. 2014年 - 理系 - 第4問
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p,qは実数の定数で，0＜p＜1，q＞0をみたすとする．関数f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})を考える．以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式1+x≦e^xがすべての実数xに対して成り立つことを証明なしに用いてよい．(1)0＜x＜1のとき，0＜f(x)＜1であることを示せ．(2)x_0は0＜x_0＜1をみたす実数とする．数列{x_n}の各項x_n(n=1,2,3,・・・)を，x_n=f(x_{n-1})によって順次定める．p＞qであるとき，\lim_{n→∞}x_n=0となることを示せ．(3)p＜qであるとき，c=f(c),0＜c＜1をみたす実数cが存在することを示せ．
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