東京大学
2014年 文系 第4問

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  4. 2014年 - 文系 - 第4問
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rを0以上の整数とし，数列{a_n}を次のように定める．a_1=r,a_2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1)(n=1,2,3,・・・)また，素数pを1つとり，a_nをpで割った余りをb_nとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(b_n+1)をpで割った余りと一致することを示せ．(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，b_nを求めよ．(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，b_{n+1}=b_{m+1}＞0,b_{n+2}=b_{m+2}が成り立ったとする．このとき，b_n=b_mが成り立つことを示せ．
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