東京大学
2015年 理系 第3問

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  4. 2015年 - 理系 - 第3問
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aを正の実数とし，pを正の有理数とする．座標平面上の2つの曲線y=ax^p(x＞0)とy=logx(x＞0)を考える．この2つの曲線の共有点が1点のみであるとし，その共有点をQとする．以下の問いに答えよ．必要であれば，\lim_{x→∞}\frac{x^p}{logx}=∞を証明なしに用いてよい．(1)aおよび点Qのx座標をpを用いて表せ．(2)この2つの曲線とx軸で囲まれる図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積をpを用いて表せ．(3)(2)で得られる立体の体積が2πになるときのpの値を求めよ．
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