東京大学
2012年 理系 第6問

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  4. 2012年 - 理系 - 第6問
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2×2行列P=\biggl(\begin{array}{cc}p&q\\r&s\end{array}\biggr)に対して\mathrm{Tr}(P)=p+sと定める．\\a，b，cはa≧b＞0，0≦c≦1を満たす実数とする．行列A，B，C，Dを次で定める．A=\biggl(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}b&0\\0&a\end{array}\biggr),C=\biggl(\begin{array}{cc}a^c&0\\0&b^c\end{array}\biggr),D=\biggl(\begin{array}{cc}b^{1-c}&0\\0&a^{1-c}\end{array}\biggr)また実数xに対しU(x)=\biggl(\begin{array}{cc}cosx&-sinx\\sinx&cosx\end{array}\biggr)とする．このとき以下の問いに答えよ．(1)各実数tに対して，xの関数f(x)=\mathrm{Tr}\Biggl(\Bigl(U(t)AU(-t)-B\Bigr)U(x)\biggl(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\biggr)U(-x)\Biggr)の最大値m(t)を求めよ．(ただし，最大値をとるxを求める必要はない．)(2)すべての実数tに対し2\mathrm{Tr}(U(t)CU(-t)D)≧\mathrm{Tr}(U(t)AU(-t)+B)-m(t)が成り立つことを示せ．
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詳細情報

大学（出題年） 東京大学（2012）
文理 文系
大問 6
単元 行列とその応用（数学C）
タグ 行列，最大値，示せ
難易度 未設定

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