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自然数nに対して,座標平面上の2n個の点(1,1),(2,1),・・・,(n,1),(1,2),(2,2),・・・,(n,2)の集合をL_nとし,それらを下図のように線分で結んだ図形を考える.(図はn=5の場合.)(プレビューでは図は省略します)そしてL_nの2個の点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)間の最短経路距離を|x_1-x_2|+|y_1-y_2|で定義する.すなわちP_1からP_2へ図形の線分を通り到達するための最短距離のことである.このときL_nの異なる2点の組み合わせにおける最短経路距離の平均値a_nを求めたい.L_nの異なる2点の組み合わせにおける最短経路距離の総和をd_nとするとき,次の問に答えよ.(1)d_1,a_1,d_2,a_2を求めよ.(2)L_nに2点(n+1,1),(n+1,2)を付け加えるとL_{n+1}になることに着目してd_{n+1}-d_nをnで表せ.(3)d_nとa_nをそれぞれnで表せ.
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