東京理科大学
2012年 理工（物理・応用生物科・経営工） 第1問

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  4. 2012年 - 理工（物理・応用生物科・経営工） - 第1問
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次の文章中の[ア]から[ラ]までに当てはまる数字0～9を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．(1)数列{a_n},{b_n}(n=1,2,3,・・・)は次の関係式を満たすとする．a_1=0,{\begin{array}{l}b_n=1/5a_n+1\a_{n+1}=3b_n+2\end{array}.(n=1,2,3,・・・)このとき，b_1=[ア]で，n\geq1に対してb_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}b_n+\frac{[エ]}{[オ]}となる．これより，b_n=\frac{[カ]}{[キ]}-\frac{[ク]}{[ケ]}(\frac{[コ]}{[サ]})^{n-1}(n\geq1)となるので，\lim_{n→∞}b_n=\frac{[シ]}{[ス]},\qquad\lim_{n→∞}\frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{[セ]}{[ソ]}となる。また，Σ_{n=1}^{∞}(a_{2n}-a_n)=\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]}である．(2)複素数z=cosθ+isinθ(0\leqθ＜2π)に対して，複素数\omegaを\omega=(4+3i)z+6i\overline{z}で定める．ただし，iは虚数単位を，\overline{z}=cosθ-isinθはzと共役な複素数を表す．いまzの実部と虚部がともに0以上となる範囲でθを動かす．このとき，\omegaの実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，\omega\overline{\omega}の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，\overline{\omega}は\omegaと共役な複素数を表す．(3)x＞0で定義された微分可能な関数f(x)が，f´(x)=2logx+\frac{1}{7-2e}∫_1^{e}\frac{f(t)}{t}dt,f(1)=0を満たすとする．ここで，f´(x)はf(x)の導関数，logは自然対数，eは自然対数の底である．f(x)を求めると，f(x)=[フ]xlogx-\frac{[ヘ]}{[ホ]}x+\frac{[マ]}{[ミ]}(x＞0)となる．関数f(x)はx=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}のとき，最小値-[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}}+\frac{[ヨ]}{[ラ]}をとる。
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