東京理科大学
2012年 理（数・物・化） 第3問

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  4. 2012年 - 理（数・物・化） - 第3問
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{θ_k}を初項0，交差π/4の等差数列，{r_k}を初項1，公比1/2の等比数列とし，自然数kに対して，行列A_k，B_kをA_k=(\begin{array}{cc}r_kcosθ_k&r_ksinθ_k\r_ksinθ_k&-r_kcosθ_k\end{array}),B_k=(\begin{array}{cc}r_kcosθ_k&-r_ksinθ_k\-r_ksinθ_k&-r_kcosθ_k\end{array})とおく．C_k=A_kA_{k+1}，D_k=B_kB_{k+1}とするとき，次の問いに答えよ．(1)C_kをkを用いて表せ．(2)D_kをkを用いて表せ．(3)mを自然数とするとき，次の行列の和(\frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k)^2+(\frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k)^4+(\frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k)^6+・・・+(\frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k)^{2m}を求めよ．(4)C_k^2D_k^2を求めよ．(5)次の行列の和C_1^2D_1^2+2C_2^2D_2^2+3C_3^2D_3^2+・・・+nC_n^2D_n^2を(\begin{array}{cc}x_n&y_n\z_n&w_n\end{array})とするとき，\lim_{n→∞}x_n，\lim_{n→∞}y_n，\lim_{n→∞}z_n，\lim_{n→∞}w_nを求めよ．ただし，必要ならば，実数a(a＞1)に対して，\lim_{n→∞}\frac{n}{a^n}=0が成り立つことを用いてよい．
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