東京理科大学
2012年 理工（数・建築・電気電子情報工） 第1問

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  4. 2012年 - 理工（数・建築・電気電子情報工） - 第1問
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次の文章中の[ア]から[ヒ]までに当てはまる数字0～9を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．(1)aを実数とするとき，方程式|x|-|x^2-4|+|x+6|=aを考える．この方程式の実数解が2個であるための条件はa＜[ア],[イ]＜a＜[ウ][エ]であり，実数解を持たないための条件はa＞[オ][カ]である．また，次の不等式|x|-|x^2-4|+|x+6|＞2には，正の整数解が[キ]個，負の整数解が[ク]個ある．(2)空間内に点O，A，B，Cがあり，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおくとき，それぞれの大きさと内積が\begin{array}{l}|ベクトルa|=9,|ベクトルb|=12,|ベクトルc|=\sqrt{42},\\ベクトルa・ベクトルb=72,ベクトルa・ベクトルc=57,ベクトルb・ベクトルc=48\end{array}であるとする．ベクトルABとベクトルACのなす角は\frac{1}{[ケ]}πであり，△ABCの面積は\frac{[コ][サ]}{[シ]}である．ベクトルベクトルOA+sベクトルAB+tベクトルACが3点A，B，Cを通る平面と直交するのはs=\frac{[ス]}{[セ]}，t=\frac{[ソ]}{[タ]}のときである．したがって，四面体OABCの体積は[チ][ツ]である．(3)三角関数についての等式[テ]cos^3θ-[ト]cosθ-cos3θ=0を利用して，tに関する3次方程式[テ]t^3-[ト]t-\frac{√2}{2}=0を解いたとき，cos3/4πが解の1つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの2つの解はcos\frac{[ナ]}{12}π=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]}とcos\frac{[ノ]}{12}π=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]}となる．これより，tan\frac{[ナ]}{12}π=[ハ]-\sqrt{[ヒ]}となる．
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