東京理科大学
2012年 理工（数・建築・電気電子情報工） 第3問

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  4. 2012年 - 理工（数・建築・電気電子情報工） - 第3問
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自然数n=1,2,3,・・・に対し，x＞0で定義された関数f_n(x)をf_n(x)=\frac{logx}{x^n}(x＞0)で定める．ただし，logは自然対数を表す．t＞1とするとき，座標平面において曲線y=f_n(x)のx≦tの部分，x軸，直線x=tの3つで囲まれている図形の面積をS_n(t)とする．また，4点(1,0)，(t,0)，(t,f_n(t))，(1,f_n(t))を頂点とする長方形の面積をT_n(t)とする．(1)関数f_n(x)が極大となるときのxの値と，そのときのf_n(x)の極大値を求めよ．(2)tがt＞1を動くとき，T_n(t)-S_n(t)が最大となるtの値を求めよ．(3)S_1(t)とS_n(t)(n≧2)を求めよ．(4)各n≧2に対してT_n(t)=S_n(t)となるt(t＞1)がただ1つあることを示せ．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0となることを用いてもよい．
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