東京理科大学
2012年 工(工業化・経営工・機械工) 第1問

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次の問いに答えよ.(1)1枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う.このゲームを,表がちょうど4回出たところ,または,裏がちょうど4回出たところで終了することにする.ただし,硬貨を投げたとき,表が出る確率と裏が出る確率はいずれも1/2である.(i)硬貨をk回投げたところで終了する確率をp_kとすると,p_4=\frac{[ア]}{[イ]},p_5=\frac{[ウ]}{[エ]},p_7=\frac{[オ]}{[カ][キ]}である.(ii)このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は\frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]}である.(2)0°≦θ≦180°のθに対して,xに関する2次方程式x^2+(√2sin2θ)x+2cosθ=0を考える.(i)この方程式が異なる2つの実数解をもつのは,[ア][イ]°<θ≦[ウ][エ][オ]°のときである.以下,この方程式が異なる2つの実数解をもつ場合について考え,この2つの実数解をα,βとする.(ii)無限等比級数1+(1/α+1/β)+(1/α+1/β)^2+・・・+(1/α+1/β)^n+・・・が収束するのは,[カ][キ][ク]°<θ≦[ケ][コ][サ]°のときである.(iii)無限等比級数1+(1/α+1/β)+(1/α+1/β)^2+・・・+(1/α+1/β)^n+・・・が収束して,その和が2-√2となるのは,θ=[シ][ス][セ]°のときである.(3)△OABにおいて,辺ABを2:1の比に内分する点をC(AC:CB=2:1),線分OCを1:2の比に内分する点をD(OD:DC=1:2)とする.辺OA上に点Pを,辺OB上に点Qを,線分PQが点Dを通るようにとる.(i)OA/OP+2×OB/OQ=[ア]である.以下,OA=2,OB=3,∠AOB=60°とする.(ii)OP=1のとき,△OPQの面積は\frac{[イ]}{[ウ][エ]}×\sqrt{[オ]}である.(iii)線分OPの長さと線分OQの長さの和OP+OQがもっとも小さくなるように点P,Qをとるとき,OP=\frac{[カ]+[キ]\sqrt{[ク]}}{[ケ]}である.このとき,OP+OQ=\frac{[コ]+[サ]\sqrt{[シ]}}{[ス]}である.
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