東京理科大学理（数理情報科） 2012年問題1

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$[]内のカタカナにあてはまる0から9までの数字を求めよ．(1)kを自然数とすると，不等式k＞\frac{√k+\sqrt{k-1}}{2}が成立する．この不等式の右辺の逆数は[ア](√k-\sqrt{k-[イ]})であるから，不等式1/k＜[ア](√k-\sqrt{k-[イ]})を得る．この不等式がすべての自然数kに対して成立することより，\lim_{n→∞}1/nΣ_{k=1}^n1/k=[ウ]であることがわかる．(2)自然数nに対し，a_n=Σ_{m=1}^{∞}\frac{1}{m(m+n+1)},s_n=Σ_{k=1}^n1/kと定める．(i)Σ_{n=2}^{∞}\frac{1}{n(n+1)}を求めよ．(ii)Σ_{n=1}^{∞}(1/n-\frac{1}{n+1})s_{n+1}を求めよ．（ヒント：n≧2であるような各自然数nに対してs_{n+1}-s_nを考えることにより，(i)の結果が使える形に変形せよ．）(iii)nを自然数とする．また，pは自然数で，等式Σ_{m=1}^{∞}(1/m-\frac{1}{m+n+1})=s_pが成立しているとする．このとき，pをnの1次式の形に表せ．\mon[\tokeishi]nを自然数とし，pは(iii)における通りであるとする．また，qは自然数で，等式a_n=\frac{s_p}{q}が成立しているとする．このとき，qをnの1次式の形に表せ．\mon[\tokeigo]Σ_{n=1}^{∞}\frac{a_n}{n}を求めよ．$