東京理科大学
2012年 理（数理情報科・応用物理・応用化学） 第1問

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  4. 2012年 - 理（数理情報科・応用物理・応用化学） - 第1問
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次の問いに答えよ．(1)実数θに対し，O(0,0,0)を原点とする座標をもつ空間において，3点P(cosθ,sinθ,0),Q(0,cosθ,sinθ),R(0,cos2θ,sin2θ)を考える．(i)θが-π≦θ＜πの範囲を動くとき，PQ^2の最大値は[ア]であり，最大値を与えるθの値は-\frac{[イ]}{[ウ]}πと\frac{[エ]}{[オ]}πである．(ii)ベクトルベクトルOP，ベクトルORのなす角をαとする．θがπ/6≦θ≦π/2の範囲を動くとき，cosαの最大値は\frac{[カ]}{[キ]}であり，最大値を与えるθの値は\frac{[ク]}{[ケ]}πである．θが-π/6≦θ≦π/2の範囲を動くとき，cosαの最大値は\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}である．θが-π/2≦θ≦π/2の範囲を動くとき，cosαの最大値は[シ]であり，最大値を与えるθの値は-\frac{[ス]}{[セ]}πである．(2)零行列でない2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})が，等式A^2=4Aを満たしているとする．(i)bc=0のとき，a+dの値は[ソ]または[タ]である．また，bc≠0のとき，a+d=[チ]，ad-bc=[ツ]となる．特に，b=c＞0とすると，A=(\begin{array}{cc}a&\sqrt{([テ]-[ト]a)a}\\sqrt{([ナ]-[ニ]a)a}&[ヌ]-[ネ]a\end{array})となる．(ii)自然数nに対し，Σ_{k=1}^n\comb{n}{k}4^k3^{n-k}=[ノ]^n-[ハ]^nであるから，(A+3E)^n=\frac{[ヒ]}{[フ]}([ヘ]^n-[ホ]^n)A+[マ]^nEとなる．ここで，Eは2次の単位行列を表す．
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