東京理科大学
2012年 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） 第1問

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  4. 2012年 - 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） - 第1問
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次の問いに答えよ．(1)△ABCの3辺の長さがそれぞれAB=5,BC=7,AC=4√2であるとする．この三角形の∠ABCの大きさをBで表すとcosB=\frac{[ア]}{[イ]}であり，△ABCの外接円の半径Rは，R=\frac{[ウ]}{[エ]}\sqrt{[オ]}である．また，∠ABCの2等分線と△ABCの外接円の交点でBと異なる点をDとする．このとき，AD=\sqrt{[カ][キ]}であり，さらに△ABCの外接円の中心をOとすると，△AODの面積は[ク]となる．(2)赤玉3個，白玉4個，青玉5個が入っている袋から，玉を同時に4個取り出すとき，次の確率を求めよ．(i)取り出した玉の色がすべて青色である確率は\frac{[ケ]}{[コ][サ]}である．(ii)取り出した玉の色が少なくとも2種類である確率は，\frac{[シ][ス][セ]}{165}である．(iii)取り出した玉の色が3種類である確率は，\frac{[ソ]}{[タ][チ]}である．\mon[\tokeishi]取り出した玉に赤玉が少なくとも2個含まれている確率は，\frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}である．(3)関数f_0(x),f_1(x),f_2(x)をf_0(x)=e^{x^2},f_1(x)=xe^{x^2},f_2(x)=x^2e^{x^2}と定める．ただし，eは自然対数の底であり，e^{x^2}はe^{(x^2)}を表す．関数f_n(x)(n=0,1,2)の導関数をg_n(x)とすると，\setstretch{2.0}\begin{array}{l}g_0(x)=[ニ]xe^{x^2}\g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2}\g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}\end{array}\setstretch{1.4}である．関数h(x)をh(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2}と定めると，座標平面で曲線y=h(x)はx軸と3点で交わり，その交点のx座標は-[ヒ]，\frac{[フ]}{[ヘ]}，[ホ]である．また，h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]}g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x)であるから，曲線y=h(x)とx軸で囲まれた図形のうちx軸の下にある部分の面積をSとすると，S=\frac{1}{[モ]}([ヤ]e-[ユ][ヨ]e^{\frac{[ラ]}{[リ]}})となる．
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