東京理科大学理（数理情報科・応用物理・応用化学） 2012年問題2

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$記号(0,∞)は，正の実数全体からなる区間を表すものとする．1より大きい実数rと，区間(0,∞)で連続な関数f(x)に対する，定積分∫_1^{r^2}f(x^3+\frac{r^6}{x^3})1/xdx　と　∫_1^{r^3}f(x+\frac{r^6}{x})1/xdxについて考える．(1)rを1より大きい実数とする．(i)定積分∫_1^{r^2}(x^3+\frac{r^6}{x^3})1/xdxと∫_1^{r^3}(x+\frac{r^6}{x})1/xdxを求めよ．(ii)定積分∫_1^{r^2}(x^3+\frac{r^6}{x^3})^21/xdxと∫_1^{r^3}(x+\frac{r^6}{x})^21/xdxを求めよ．(2)次の問いに答えよ．(i)1より大きいすべての実数rと区間(0,∞)で連続なすべての関数f(x)に対して等式∫_1^{r^2}f(x^3+\frac{r^6}{x^3})1/xdx=a∫_1^{r^6}f(t+\frac{r^6}{t})1/tdtが成立するような，定数aの値を求めよ．(ii)1より大きいすべての実数rと区間(0,∞)で連続なすべての関数f(x)に対して等式∫_1^{r^3}f(x^3+\frac{r^6}{x})1/xdx=b∫_{r^3}^{r^6}f(t+\frac{r^6}{t})1/tdtが成立するような，定数bの値を求めよ．(iii)1より大きいすべての実数rと区間(0,∞)で連続なすべての関数f(x)に対して等式∫_1^{r^2}f(x^3+\frac{r^6}{x^3})1/xdx=c∫_{1}^{r^3}f(x+\frac{r^6}{x})1/xdxが成立するような，定数cの値を求めよ．$