東京理科大学
2012年 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） 第2問

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  4. 2012年 - 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） - 第2問
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rを0＜r＜1を満たす実数として，次のように行列とベクトルを定める．A=(\begin{array}{cc}r&0\2r-1&1-r\end{array}),P=(\begin{array}{c}1\1\end{array}),Q=(\begin{array}{c}0\1\end{array})またベクトルQ_n=(\begin{array}{c}a_n\b_n\end{array})(n=1,2,3,・・・)をQ_1=(\begin{array}{c}a_1\b_1\end{array})=Q,Q_n=AQ_{n-1}+P(n≧2)として定める．(1)AP=αP，AQ=βQを満たす定数α，βを求めよ．(2)A^nP,A^nQを求めよ．(3)Q_n=(\begin{array}{c}a_n\b_n\end{array})を求めよ．(4)座標平面において，各n=1,2,3,・・・に対し座標が(a_n,0)である点をX_n，座標が(a_n,b_n-a_n)である点をY_nとする．さらに，台形X_nX_{n+1}Y_{n+1}Y_nの面積をS_n(n=1,2,3,・・・)とし，S=Σ_{n=1}^∞S_n=S_1+S_2+・・・+S_n+・・・とする．(i)Sを求めよ．(ii)rが0＜r＜1の範囲を動くとき，Sの最大値とそのときのrの値を求めよ．
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