東京理科大学
2015年 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） 第1問

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  4. 2015年 - 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） - 第1問
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次の文章の[ア]から[ム]までに当てはまる数字0～9を求めなさい．(1)cを定数として，3次関数f(x)をf(x)=1/3x(x-1)(x-c)と定める．f(x)の導関数f´(x)はα,β(α＜β)においてf´(α)=0,f´(β)=0を満たすものとする．解と係数の関係により，α+β=\frac{[ア]}{[イ]}(c+1),αβ=\frac{1}{[ウ]}cである．したがって\frac{f(α)-f(β)}{α-β}=-\frac{[エ]}{[オ][カ]}(c^2-c+[キ])(α-β)^2=\frac{[ク]}{[ケ]}(c^2-c+1)となるので，c=1/2のときf(α)-f(β)=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ][シ]}である．(2)定数θに対して，数列{a_n}をa_n=cos(2^{n-1}θ)(n=1,2,3,・・・)と定める．(i)余弦の2倍角の公式により，数列{a_n}は漸化式a_{n+1}=[ス]{a_n^2}-1を満たす．(ii)θがcosθ=1/3を満たすときa_3=\frac{[セ][ソ]}{[タ][チ]}である．(iii)θ=5/96πとするときa_{n+1}=a_nを満たす最小の正の整数nは[ツ]である．(3)大，中，小の3個のさいころを同時に投げるものとする．(i)1の目が少なくとも1つ出る確率は\frac{[テ][ト]}{[ナ][ニ][ヌ]}である．(ii)出る目の最大値が5である確率は\frac{[ネ][ノ]}{[ハ][ヒ][フ]}である．(iii)大のさいころの目は中のさいころの目以上であり，かつ，小のさいころの目は中のさいころの目以下である確率は\frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}である．\mon[\tokeishi]大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は\frac{1}{[ミ][ム]}である．
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