東京理科大学
2015年 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） 第2問

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  4. 2015年 - 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） - 第2問
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pを正の定数として，関数f(x)をf(x)=-5x^plogx(x＞0)と定める．aはf´(a)=0を満たす正の実数とする．ここで，logxは自然対数であり，eは自然対数の底を表す．また，f´(x)はf(x)の導関数である．(1)aの値をpを用いて表せ．(2)不定積分∫f(x)dxを求めpを用いて表せ．(3)直線x=aとx軸，および曲線y=f(x)のa≦x≦1の部分で囲まれる部分の面積をSとする．このとき，\lim_{p→+0}Sの値を求めよ．必要ならば，\lim_{u→+0}\frac{e^{-1/u}}{u}=0であることを用いてよい．
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