東京理科大学
2015年 理工(情報科・工業化・機械工・土木工) 第3問

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正の定数a(a≠1)に対して,2次関数f(x)をf(x)=ax(1-x)と定める.曲線C:y=f(x)の点(1,0)における接線をℓ_1,直線y=-xをℓ_2とする.曲線Cのx≦1の部分と2直線ℓ_1,ℓ_2で囲まれる部分の面積をSで表し,また,この部分をx軸の周りに1回転してできる図形の体積をVで表す.(1)直線ℓ_1,ℓ_2の交点の座標をaを用いて表せ.(2)Sをaを用いて表せ.(3)定数aはa>1を満たすものとする.2直線ℓ_1,ℓ_2とx軸で囲まれる部分をx軸の周りに1回転してできる図形の体積をUで表すとき,\frac{30a^3}{(a-1)^4π}(V-U)をaの1次式で表せ.(4)\lim_{a→1+0}(a-1)^2Vの値を求めよ.
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