東京理科大学理工（物理・応用生物科・経営工） 2015年問題1

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$次の文章中の[ア]から[ヨ]までに当てはまる数字0～9を求めよ．(1)実数aに対し，2つの2次関数f(x)=x^2-2a^2x-a^4-2a^2-8g(x)=-x^2+2(a^2-4)x-3a^4-2a^3-16を考える．(i)すべての実数xに対してg(x)＜f(x)が成り立つための必要十分条件はa＞-[ア]　かつ　a≠[イ]である．(ii)g(x)の最大値は-[ウ]a^4-[エ]a^3-[オ]a^2である．(iii)次の条件(*)を満たす実数bがただ1つ存在するとする．(*)「すべての実数xに対してg(x)≦b≦f(x)が成り立つ．」このとき，a=-[カ]　または　a=[キ]であり，a=-[カ]のときはb=-[ク][ケ]，a=[キ]のときはb=-[コ][サ]である．(2)次の条件で定められる数列{a_n}，{b_n}を考える．a_1=1,b_1=-2,{\begin{array}{lcl}a_{n+1}&=&8a_n+b_n\b_{n+1}&=&-25a_n-2b_n\end{array}.(n=1,2,3,・・・)このとき[シ]a_{n+1}+b_{n+1}=[ス]([シ]a_n+b_n)であるので，b_n={[セ]}^n-[ソ]a_nである．これにより\frac{a_{n+1}}{{[タ]}^n}=\frac{a_n}{{[タ]}^{n-1}}+1となる．したがってa_n=n・{[チ]}^{n-\mkakko{ツ}}となる．(3)平面上に，△ABCとその内部の点Oをとったとき，OA=1+√3OB=√3OC=√2√3ベクトルOA+2ベクトルOB+3ベクトルOC=ベクトル0となっていた．このとき，内積ベクトルOA・ベクトルOBの値は\frac{-[テ]-\sqrt{[ト]}}{[ナ]}であるので∠AOB={[ニ][ヌ][ネ]}°である．同様にベクトルOA・ベクトルOC=-[ノ]-\sqrt{[ハ]}から∠AOC={[ヒ][フ][ヘ]}°である．したがって，∠BOC={[ホ][マ][ミ]}°となる．また，sin{[ホ][マ][ミ]}°=\frac{\sqrt{[ム]}([メ]+\sqrt{[モ]})}{4}である．したがって，△ABCの面積は[ヤ]+\frac{[ユ]\sqrt{[ヨ]}}{2}である．$