東京理科大学工（工業化・経営工・機械工） 2015年問題1

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$[]内に0から9までの数字を1つずつ入れよ．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を0として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を1としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．(1)aを0でない実数の定数とし，曲線C:y=ax^2-1および直線ℓ:x+y=0を考える．(i)a=1とする．曲線C上の2点([ア],[イ])と([ウ],-[エ])は直線ℓに関して対称である．(ii)曲線C上に，直線ℓに関して対称である，異なる2点が存在するとき，定数aのとり得る値の範囲はa＞\frac{[オ]}{[カ]}である．(2)座標平面上に4点A(0,0)，B(2√3,2)，C(2√3-1,√3+2)，D(-1,√3)を頂点とする長方形ABCDがある．点P_0を辺ABの中点とし，条件∠P_0P_1B=∠P_2P_1C,∠P_1P_2C=∠P_3P_2D,∠P_2P_3D=∠P_4P_3Aを満たすように，辺BC，CD，DA，AB上にそれぞれ点P_1，P_2，P_3，P_4を図のようにとる．点P_4のx座標x_4が√3＜x_4＜2√3を満たすとき，点P_1，P_2，P_3のx座標x_1，x_2，x_3のとり得る値の範囲はそれぞれ[ア]\sqrt{[イ]}-\frac{[ウ]}{[エ]}＜x_1＜[オ]\sqrt{[カ]}-\frac{[キ]}{[ク]}，\frac{[ケ]}{[コ]}×\sqrt{[サ]}-[シ]＜x_2＜\sqrt{[ス]}-[セ]，-\frac{[ソ]}{[タ]}＜x_3＜-\frac{[チ]}{[ツ]}である．(3)aを実数の定数とし，xに関する方程式\frac{log(3-x^2+2x)}{log(x-a)}=2を考える．この方程式が実数解をもつとき，実数aのとり得る値の範囲は[ア]-[イ]\sqrt{[ウ]}≦a＜\sqrt{[エ]}，\sqrt{[オ]}＜a＜[カ]である．ただし，正の数Aに対して，logAはAの自然対数を表す．$