東京理科大学理（数・物・化） 2015年問題1

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$次の[]にあてはまる0から9までの数字を求めよ．(1)座標平面上に3点A(-1,0)，B(1,0)，C(0,1)がある．(i)楕円E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1(b＞0)は2点A，Bを焦点としてもつとする．このとき，b=\sqrt{[ア]}である．(ii)2点A，Cを通る直線と，(i)で定めた楕円Eの交点をP(x_0,y_0)(x_0＞0)とすると，x_0=-\frac{[イ]}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]}\sqrt{[カ]},y_0=\frac{[キ]}{[ク]}+\frac{[ケ]}{[コ]}\sqrt{[サ]}である．(iii)(ii)で定めた点Pに対して，PB+PC=[シ]-\sqrt{[ス]}である．QB+QC=[シ]-\sqrt{[ス]}となるような点Q(x,y)の軌跡の方程式は\frac{(x-y)^2}{α}+\frac{(x+y-γ)^2}{β}=1である．このとき，α=\mkakko{セ}-\mkakko{ソ}\sqrt{\mkakko{タ}},β=\mkakko{チ}-\mkakko{ツ}\sqrt{\mkakko{テ}},γ=\mkakko{ト}となる．(2)座標平面上の原点O(0,0)，点A(2,2)，点B(k,0)を通り，軸がy軸に平行な放物線をCとする．ただし，k＞2とする．(i)放物線Cの方程式をkを用いて表すと，y=-\frac{[ナ]}{k-[ニ]}x^2+\frac{k}{k-[ヌ]}xである．(ii)放物線Cとx軸で囲まれた部分の面積Sをkを用いて表すと，S=\frac{k^{\mkakko{ネ}}}{[ノ](k-[ハ])^{\mkakko{ヒ}}}である．また，kをk＞2の範囲で動かすとき，Sの最小値は\frac{[フ]}{[ヘ]}であり，そのときのkの値はk=[ホ]である．(iii)放物線Cとx軸で囲まれた部分を放物線Cの軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vをkを用いて表すと，V=\frac{k^{\mkakko{マ}}}{[ミ][ム](k-[メ])^{\mkakko{モ}}}πである．また，kをk＞2の範囲で動かすとき，Vの最小値は\frac{[ヤ][ユ]}{[ヨ][ラ]}πであり，そのときのkの値はk=\frac{[リ]}{[ル]}である．$