東京理科大学
2014年 基礎工 第4問

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  4. 2014年 - 基礎工 - 第4問
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数列{a_n}，{b_n}をa_n=∫_{n-1/4}^{n+1/4}e^{-4x}cos(2πx)dx,b_n=∫_{n-1/4}^{n+1/4}e^{-4x}sin(2πx)dx(n=1,2,3,・・・)と定める．ただし，eは自然対数の底を表す．(1)a_nを定める定積分に対して部分積分を行うことにより，a_n=-\frac{π}{[ア]}b_nがわかる．一方，b_nを定める定積分に対して部分積分を行うことにより，b_n=\frac{π}{[イ]}a_n-\frac{e^{\mkakko{ウ}}+[エ]}{[オ]e^{\mkakko{カ}n+\mkakko{キ}}}がわかる．これらの関係式より，a_nはa_n=\frac{π(e^{\mkakko{ク}}+[ケ])}{[コ](π^{\mkakko{サ}}+[シ])e^{\mkakko{ス}n+\mkakko{セ}}}となることがわかる．(2)無限級数Σ_{n=1}^∞a_nの和は\frac{π}{[ソ](π^{\mkakko{タ}}+[チ])(e^{\mkakko{ツ}}-e)}となる．
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