東京理科大学理（数理情報科・応用物理・応用化学） 2015年問題1

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$次の[]内にあてはまる0から9までの数字を求めよ．(1)f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+1/4，g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+1/4で定められる関数に対して，f(x)はx=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]}√3において最小値\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]}√3をとり，g(x)はx=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]}√3において最小値\frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]}√3をとる．(2)aを正の実数とし，座標平面上の2曲線B_1:y={(a/πx)}^2とB_2:y=sinxの0＜x＜πにおける交点のx座標をt，0≦x≦tにおいて2曲線で囲まれた領域の面積をSとすると，S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}tsint-[ネ]costである．a=2のとき，t=\frac{[ノ]}{[ハ]}πである．0＜a≦2に対してSがとり得る値の範囲は[ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]}π≦S＜[ホ]である．(3)空調のある1号室，2号室，3号室は電力事情により，同時に1部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は1号室の電源をオンにすることにし，それ以降は1時間ごとに大小の2つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．\begin{itemize}大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの2つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．\end{itemize}自然数nに対して，1号室の電源を最初にオンにした時からn時間後に，1号室の空調の電源をオンにする確率をa_n，2号室の空調の電源をオンにする確率をb_n，3号室の空調の電源をオンにする確率をc_nとする．(i)a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}，b_1=\frac{[ム]}{[メ]}，c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}である．すべての自然数nに対して以下が成り立つ．(ii)a_n+b_n+c_n=[ユ](iii)a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n\mon[\tokeishi]a_n=\frac{[レ]}{[ロ]}{(\frac{[ワ]}{[ヲ]})}^n+\frac{[ン]}{[あ]}b_n=-\frac{[い]}{[う]}{(\frac{[え]}{[お]})}^n+\frac{[か]}{[き]}c_n=-\frac{[く]}{[け]}{(\frac{[こ]}{[さ]})}^n+\frac{[し]}{[す]}$