東京理科大学
2015年 理（数） 第2問

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  4. 2015年 - 理（数） - 第2問
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sを-1≦s≦1を満たす実数とする．xy平面上のベクトルベクトルa_s,ベクトルb_s,ベクトルc_sをベクトルa_s=(s,\sqrt{1-s^2}),ベクトルb_s=(\sqrt{1-s^2},-s),ベクトルc_s=(s\sqrt{1+s^2},\sqrt{1-s^4})と定める．tを実数とし，f_t(s),g_t(s),h_t(s),k_t(s)をベクトルa_s+\frac{t}{|ベクトルb_s|}ベクトルb_s=(f_t(s),g_t(s))ベクトルa_s-\frac{t}{|ベクトルc_s|}ベクトルc_s=(h_t(s),k_t(s))により定める．さらに，sを媒介変数とする2つの曲線C_t:x=f_t(s),y=g_t(s)(-1/2≦s≦1),K_t:x=h_t(s),y=k_t(s)(-1≦s≦1)を考える．次の各問いに答えよ．(1)f_t(s),g_t(s),h_t(s),k_t(s)をsとtを用いて表せ．(2)ベクトルa_sとベクトルb_sのなす角，および，ベクトルa_sとベクトルc_sのなす角を求めよ．(3){f_t(s)}^2+{g_t(s)}^2をtのみを用いて表せ．(4)tが0から√3まで動くとき，C_tが通過する部分をDとする．Dを図示せよ．(5)(4)で定めたDの面積を求めよ．\mon(4)で定めたDをx軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．\monK_{1/2},K_1,K_{3/2}を図示せよ．\montが1/2≦|t-1|≦1を満たす範囲を動くとき，K_tが通過する部分の面積を求めよ．
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