東京理科大学
2012年 理(数・物・化) 第2問

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自然数nに対して,3次曲線C_n:y=x(x-n)(x-n-1)を考え,原点Oを通るC_nの接線で,接点が原点以外のものをℓ_nとする.また,C_nの原点における接線とC_nで囲まれる部分の面積をS_nとし,ℓ_nとC_nで囲まれる部分の面積をT_nとする.次の問いに答えよ.(1)ℓ_nの方程式を求めよ.(2)S_n,T_nを求め,さらに,\frac{T_n}{S_n}を求めよ.(3)ℓ_1と平行なC_1の接線で,ℓ_1と異なるものをℓ´とする.ℓ´の方程式を求めよ.(4)ℓ´は(3)におけるとおりとする.次の4直線で囲まれる部分をx軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積を求めよ.\begin{itemize}ℓ_1ℓ´ℓ_1がC_1と接する点を通り,y軸に平行な直線ℓ´がC_1と接する点を通り,y軸に平行な直線\end{itemize}
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