東京理科大学理工（数・建築・電気電子情報工） 2015年問題1

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$次の文章の[ア]から[ヨ]までに当てはまる数字0～9を求めなさい．(1)ある商店街のくじは，「A賞」「B賞」「C賞」「はずれ」が，それぞれ1/4の確率ででるという．4人がそれぞれ1回ずつこのくじを引くとする．(i)誰も「はずれ」を引かない確率は\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]}である．(ii)少なくとも1人が「A賞」を引く確率は\frac{[カ][キ][ク]}{[ケ][コ][サ]}である．(iii)4人のうち，誰か1人だけが「A賞」を引く確率は\frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}である．\mon[\tokeishi]「A賞」「B賞」「C賞」「はずれ」がそれぞれ1つずつ出る確率は\frac{[タ]}{[チ][ツ]}である．(2)n=0,1,2,・・・に対して，関数f_n(x)をf_0(x)=1(0≦x≦π/2)f_n(x)=x/2-\frac{cosx}{2}∫_0^{π/2}f_{n-1}(t)sintdt(n=1,2,3,・・・,0≦x≦π/2)によって定める．このとき，c_n=∫_0^{π/2}f_{n-1}(t)sintdtとおくと，c_1=[テ]c_n=\frac{[ト]}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}c_{n-1}である．したがってc_n=\frac{[ネ]}{[ノ]}+\frac{[ハ]}{[ヒ]}・(-\frac{[フ]}{[ヘ]})^{n-1}であり，各xに対して\lim_{n→∞}f_n(x)=x/2-\frac{[ホ]}{[マ]}cosxとなる．(3)実数aに対し，xの方程式log_2|x-a|=log_4(x-2)を考える．この方程式を満たす実数の個数をaの値で分類すると，(i)a＜\frac{[ミ]}{[ム]}のとき0個(ii)a=\frac{[メ]}{[モ]},[ヤ]のとき[ユ]個(iii)(i),(ii)以外のとき[ヨ]個である．$