東京薬科大学
2016年 薬学部(B前期) 第4問

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2つの動点A,Bは,一辺の長さが1の立方体の辺上を,毎秒1の速さで,次の規則にしたがって移動する.\setlength{skip}{16mm}\mon[\lbrack規則1\rbrack]最初は同じ頂点にあり,同時に移動を開始する.\mon[\lbrack規則2\rbrack]どの頂点からも,1秒で移動可能な3つの頂点のいずれかに確率1/3で移動する.自然数nについて,移動を開始してからn秒後における2点A,B間の距離が√2となる確率をP_nとする.以下の問に答えよ.(1)P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}である.(2)P_nとP_{n+1}の関係はP_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]}P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]}(n=1,2,・・・)である.(3)P_n=\frac{[ラ]}{[リ]}(1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n})(n=1,2,・・・)である.
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