鳥取環境大学
2013年 環境・経営 第4問

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  4. 2013年 - 環境・経営 - 第4問
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次のようなゲームについて以下の問に答えよ．カードが5枚伏せてある．1回の試行ではカードをかき混ぜて1枚をでたらめに選んでめくり，出たカードの番号に対応する賞品がもらえる．5種類の賞品をすべてあつめるのが目的である．ただし，めくったカードはその都度戻すものとする．ここで，すでにk種類の賞品を持っている状況で試行を1回行ってまだ持っていない賞品がもらえる確率をP_kで表すとする（0≦k≦4）．P_0=1である．(1)P_1の値を求めよ．(2)P_kをkを用いた式で表せ．(3)5回の試行で賞品が全種類そろう確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．(4)試行を5回行った時点で得られている賞品が4種類だけである確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．(5)ある事象が起きる確率がxであるとき，その事象が起きるまで繰り返し試行を行うならば，必要な試行回数の期待値は1/xだと知られている．ここで，賞品をk種類（0≦k≦4）持っている状況から始めてまだ持っていない賞品のいずれか1つが得られるまでの試行回数の期待値をQ_kで表すとする（0≦k≦4）．Q_kをP_kを用いた式で表せ．さらにkを用いた（P_kを使わない）形で式を表せ．\mon賞品をn種類持っている状況から始めて賞品がm種類そろうまでの試行回数の期待値はΣ_{k=n}^{m-1}Q_kとなる．ただし，0≦n＜m≦4である．賞品を1つも持っていない状況から4種類そろうまでと，4種類そろった状況から最後の1種類が出るまでと，試行回数の期待値はどちらが大きいか．計算して求めよ．
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