富山大学
2014年 薬学部 第2問

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  4. 2014年 - 薬学部 - 第2問
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点P_0をxy平面の原点とし，点P_1の座標を(1,0)とする．点P_2，P_3，P_4，・・・を次のように定める．n=1,2,3,・・・に対して，点P_{n-1}を中心として点P_nを反時計回りにθ(0＜θ＜π)だけ回転させた点をQ_nとし，点P_{n+1}を\overrightarrow{P_{n-1}Q_n}=\overrightarrow{P_nP_{n+1}}となるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．(1)k=0,1,2,・・・に対して，sinθ/2coskθ=1/2{-sin(\frac{2k-1}{2}θ)+sin(\frac{2k+1}{2}θ)}sinθ/2sinkθ=1/2{cos(\frac{2k-1}{2}θ)-cos(\frac{2k+1}{2}θ)}が成り立つことを示せ．(2)n=1,2,3,・・・に対して，1+cosθ+・・・+cosnθ=\frac{1}{2sinθ/2}{sin(\frac{2n+1}{2}θ)+sinθ/2}sinθ+・・・+sinnθ=\frac{1}{2sinθ/2}{-cos(\frac{2n+1}{2}θ)+cosθ/2}が成り立つことを示せ．(3)点P_nの座標を(x_n,y_n)とおくとき，x_nおよびy_nを求めよ．(4)すべての点P_n(n=0,1,2,・・・)を通る円の方程式を求めよ．
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